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高中数学竞赛常用的不等式归纳 - 知乎

admin 法甲 2024-04-04 15浏览 0
高中数学竞赛常用的不等式归纳 - 知乎

  在最近不时有高中的学弟学妹问我,关于高中数学竞赛的不等式的问题。现在我就将高中数学常用的不等式归纳一下,望君有所收获。

  以下是我将讲的不等式:

  1.均值不等式

  2.伯努利不等式

  3.幂均不等式

  4.柯西不等式

  5.切比雪夫不等式

  6排序不等式

  7.琴声不等式

  8.波波维奇亚不等式

  9.加权不等式

  10.赫尔德不等式

  11.闵科夫斯基不等式

  12.牛顿不等式

  13.麦克劳林不等式

  14.舒尔不等式

  15.缪尔海德不等式

  16.卡拉玛塔不等式

  17.单调函数不等式

  一.均值不等式

  1.1.若 为正实数,记:

  (1) ,为平方平均数,简称平方均值;

  (2) ,为算术平均数,简称算术均值;

  (3) ,为几何平均数,简称几何均值;

  (4) ,为调和平均数,简称调和均值。

  则: (1)

  当且仅当 时,等号成立。

  二.伯努利不等式

  2.1若实数 各项符号相同,且 ,则:

  ( ) ( ) (2)

  (2)式为伯努利不等式。

  当 时,(2)式变为: (3)

  三.幂均不等式

  3.1设 为正实数序列,实数 ,则记:

  (4)

  (4)式的 称为幂平均函数。

  3.2若 为正实数序列,且实数 ,则:

  (5)

  当 时,(5)式对任何r都成立,即 关于r是单调递增函数.

  (5)式称为幂平均不等式,简称幂均不等式.

  3.3设 为非负实数序列,且 ,若 为正实数序列,且实数 ,则:

  (6)

  (6)式称为加权幂平均函数.

  3.4若 为正实数序列,且实数 ,对 则: 即: (7)

  当 时,(7)式对任何r都成立,即

  (7)式称为加权平均不等式,简称加权幂均不等式。

  四.柯西不等式

  4.1若 和h 均为实数,则:

  (8)

  当 时,当等号成立。 (8)式为柯西不等式。

  4.2柯西不等式还可以表示为:

  (9)

  简称:"平方均值两乘积,大于积均值平方"

  我们将 为积均值,记:

  则: ,即: (10)

  4.3推论1:若 为实数, ,则:

  (11)

  当 时,等号成立。

  (11)式是柯西不等式的推论,称权方和不等式。

  4.4推论2:若 和 均为实数,则:

  (12) 当 时,等号成立。

  4.5推论3:若 w为正实数,则:

  (13)

  五.切比雪夫不等式

  5.1若 ,,且均为实数。则:

  (14)

  当 时,等号成立

  (14)式为切比雪夫不等式

  由于有 ,条件,即序列同调,

  所以使用时,常采用不失一般性 ......

  5.2切比雪夫不等式常常表示为:

  (15)

  简称:“切比雪夫同调数,均值积小积均值”。

  即:对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时,两个序列数的均值

  之积不大于两个序列数各积之均值。则:

  即: (16)

  六.排序不等式

  6.1若 为实数,对于 的任何轮换 ,都有下列不等式:

  (17)

  (17)式称排序不等式(也称重排不等式).

  其中, 称正序和,故(17)式可记为:

  (18)

  6.2推论:若 为实数,设 为

  的一个排序,则:

  (19)

  七.琴声不等式

  7.1定义凸函数:对一切 , ,若函数 是向下的

  凸函数,则: (20)

  (20)式是向下凸函数的定义式.

  注: 表示区间 和函数 在 区间都是实数。

  7.2若 对任意 ,存在二次导数 ,则 在

  区间为向下凸函数:当 时,若 ,则 在

  区间为严格的向下凸函数。

  在 区间为向下凸函数,则 函数 在 区间对任何 也是向下凸函数。

  7.4若 是一个在 区间的向下凸函数,设 ,

  为实数,且 对任何 ,有:

  (21)

  (21)式就是加权的琴声不等式

  简称:“对于向下凸函数,均值的函数值不大于 函数的均值”。

  八.波波维奇亚不等式

  8.1若 是一个在 区间的向下凸函数,则对一切' ,

  有: (22)

  (22)式就是波波维奇亚不等式

  8.2波波维奇亚不等式可以写成:

  (23)

  简称:”对于向下凸函数的三点情况,三点均值的函数与函数的均值之平均值,不小于两点

  均值的函数值之平均值".

  8.3.若 是一个在 区间的向下凸函数, ,则:

  (24)

  其中: (对所有的 )

  (24)式是普遍的波波维奇亚不等式

  (未完,见主页文章)

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